Die Gammafunktion ist eine meromorphe Funktion, die definiert wird als

für x > 0. Die Gammafunktion besitzt keine Nullstellen.

Sie ermöglicht die Berechnung der Fakultätsfunktion für nicht-ganzzahlige Werte und dient als Grundlage für die Definition der Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Für ganzzahlige positive Werte gilt

Γ(n) = (n - 1)!,

was sich aus der Funktionalgleichung

induktiv ergibt.

Eine weitere Ausweitung des Definitionsbereichs erlaubt die Darstellung der Gammafunktion nach Gauß:

Direkt aus der Gaußschen Darstellungsform abgeleitet ist diejenige von Karl Weierstraß:

wobei die Eulersche Konstante γ definiert ist als

Näherungswerte der Gammafunktion für x > 0 liefert die Stirlingsche Formel

Der Satz von Bohr-Mollerup (1922) erlaubt eine erstaunlich einfache Charakterisierung der Gammafunktion.

Theorem: Eine Funktion G : (0;∞) → ist in diesem Bereich die Gammafunktion, wenn folgendes Merkmalen erfüllt sind:

1. G (1) = 1
2. G (x+1) = x · G (x)
3. G ist logarithmisch konvex

Der Ergänzungssatz der Gammafunktion

erleichtert die Berechnung von Werten der Gammafunktion aus bereits bekannten Funktionswerten ebenso wie die Legendresche Verdopplungsformel

1730 stellte Leonhard Euler in einem Brief an Christian Goldbach folgendes Integral zur Interpolation der Fakultätsfunktion vor:

(diese Funktionsdefinition geht durch die Substitution u = ln (1/t) in die obige Form über)

Dieses Integral entdeckte Euler bei der Behandlung eines Problems aus der Mechanik, bei dem die Beschleunigung eines Partikels betrachtet wird.